Les variables aléatoires discrètes

Soit E l'ensemble des issues d'une expérience. On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe à chaque issue de E un nombre réel. L'ensemble de ces réels (x₁, x₂, x₃, ..., x_n) est l'ensemble des valeurs prises par X. Dans ce cas, l'évènement : X = x_i est l'ensemble des issues de E auxquelles on associe le réel x_i et la loi de probabilité de X est la donnée de toutes les probabilités P(X = x_i), où x_i prend toutes les valeurs de E.

On lance un dé équilibré. Si le nombre obtenu est 1, on gagne 6 € ; si c'est un 2 ou un 3, on gagne 3 € ; sinon on perd 2 €. Le gain associé à cette expérience définit une variable aléatoire X. Les données des valeurs prises par la variable aléatoire et les probabilités associés sont souvent présentées dans un tableau : c'est la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

xi	-2	3	6
P(X=xi)	1/2	1/3	1/6

L'espérance d'une variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X), défini par : E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p_nx_n

Dans la situation précédente, E(X) = (1/2) * (-2) + (1/3) * 3 + (1/6) * 6 = -1 + 1 + 1 = 1. Si l'on joue un grand nombre de fois, le gain moyen par jeu est de 1€.

Soit n un entier positif et p un réel de l'intervalle [0;1]. On considère une expérience aléatoire à deux issues S que l'on nomme succès de probabilité p et S̅ que l'on nomme échec de probabilité q=1-p. On répète n fois cette expérience que l'on nomme épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p. On la note B(n,p).

On lance trois fois de suite un dé bien équilibré et on note X le nombre de 6 obtenus. X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et de probabilité p=1/6. Pour de petites valeurs de n, on représente cette répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendante par un arbre pondéré, et on peut ainsi calculer des probabilités. Par exemple : pour le calcul de P(X=1) :